Для представления натурального числа в памяти компьютера, оно обычно переводится в двоичную систему счисления. Для представления отрицательных чисел часто используется дополнительный код числа, который получается путём прибавления единицы к инвертированному представлению модуля данного отрицательного числа в двоичной системе счисления. Комплексные числа , являющиеся расширением множества действительных чисел.
Оно придаёт меру и определённость вещам и делает их причастными бытию. Благодаря числу вещи могут быть подвергнуты пересчёту и поэтому они могут быть мыслимы, а не только ощущаемы. Неоплатоники, особенно Ямвлих и Прокл, почитали числа столь высоко, что даже не считали их сущими — устроение мира исходит от числа, хотя и не непосредственно. Числа сверхсущны, пребывают выше Ума, и недоступны знанию. Неоплатоники различают божественные числа (прямую эманацию Единого) и математические числа (составленные из единиц). Гаусса, комплексные числа были признаны математиками и начали играть существенную роль не только в алгебре, но и в математическом анализе.
История чисел
Казалось, что задача, приводящаяся к решению такого квадратного уравнения, не имеет решения. Необходимость введения отрицательных чисел была связана с развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательного числа возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Отрицательные числа систематически применялись при решении задач ещё в VI—XI веках в Индии и истолковывались примерно так же, как это делается в настоящее время.
Представление чисел в памяти компьютера
В «Началах» Евклид устанавливает безграничную продолжаемость ряда простых чисел. Здесь же Евклид определяет число как «множество, составленное из единиц». Архимед в книге «Псаммит» описывает принципы для обозначения сколь угодно больших чисел. Число́ — основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения и нумерации объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.
Со временем начинают применяться действия над числами, сначала сложение и вычитание, позже умножение и деление. Когда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства и создавать методы решения задач, тогда начинает развиваться арифметика — наука о числах. Тогда появляется раздел математики, который сейчас называется теория чисел. Только к середине XIX века под влиянием развития математического анализа и аксиоматического метода в математике, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа. Введение в употребление дробных чисел было вызвано потребностью производить измерения и стало исторически первым расширением понятия числа.
Простые числа
Письменными знаками (символами) для записи чисел служат цифры. Считать предметы человек умел ещё в глубокой древности, тогда и возникло понятие натурального числа. На первых ступенях развития понятие отвлечённого числа отсутствовало. В те времена человек мог оценивать количества однородных предметов, называемых одним словом, например «три человека», «три топора». При этом использовались разные слова «один» «два», «три» для понятий «один человек», «два человека», «три человека» и «один топор», «два топора», «три топора». Это показывает анализ языков первобытных народностей.
Введение комплексных чисел
В Европе отрицательные числа ввел в употребление в XVII в. Изучение понятия непрерывности в работах немецких математиков Дедекинда, Кантора, Вейерштрасса привело к дальнейшему уточнению понятия числа и его свойств. Развитие теории алгебраических уравнений привело (XVIII в.) к понятию комплексного числа.
Для сокращения записи чисел великанов (больших чисел) давно используется система величин, в которой числа великаны имеют свои названия и записи в двух вариантах. Математика должна быть точной и не допускать двусмысленности. Цифры это обозначения чисел и из них могут состоять только другие обозначения чисел, но никак не сами числа. Число – это количественная характеристика чего-либо. Используется для подсчета количества, маркировки, измерения величин и т.д.
- С введением понятий сложения, вычитания, умножения и деления начинает развиваться наука о числах и действиях над ними — арифметика.
- При записи чисел используются различные способы (последовательности символов- цифр), т.е.
- (иногда к множеству натуральных чисел также относят ноль, то есть ).
- Числа помогают количественно характеризовать различные свойства предметов.
- P-адического нормирования, аналогично тому, как поле действительных чисел определяется как его пополнение при помощи обычной абсолютной величины.
Например, цены на продукты в магазине, массу и габариты предметов вокруг нас, возраст людей, расстояние между городами и т. Но начинается все именно со счета, точнее с устного счета.Без чисел было бы весьма затруднительно ввести градацию чего-либо, сложно было бы производить сравнения. Например, если бы не было меры массы тела в граммах, выражающейся конкретным числом грамм, то люди бы описывали предметы только как легкие, более легкие, тяжелые, очень тяжелые, чрезвычайно тяжелые и т. Это бы значительно затруднило общий прогресс и развитие человеческой цивилизации. Кант считал, что явление познано тогда, когда оно сконструировано в соответствии с априорными понятиями — формальными условиями опыта. Число задаёт конкретный принцип или схему конструирования.
Первым обобщением натуральных чисел были дробные числа, возникшие в связи с потребностью производить измерения какой-либо величины, что заключается в сравнении ее с какой-либо другой величиной — эталоном. С введением понятий сложения, вычитания, умножения и деления начинает развиваться наука о числах и действиях над ними — арифметика. Изучение глубоких закономерностей в натуральном ряду чисел продолжается до настоящего времени и составляет теорию чисел.
- Хотим мы этого или нет, но где-то глубоко в нас сидит какая-то симпатия к одним числам и осторожность, а порой и совсем неприятные чувства к другим.
- Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается .
- Кватернионы в отличие от комплексных чисел не коммутативны относительно умножения.
- Практически важным обобщением числовой системы является интервальная арифметика.
С развитием науки и математики в частности, была придумана десятичная система счисления, содержащая цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, которые называются арабскими. К слову, данная система применяется по сей и является самой распространенной. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. Все дальнейшие расширения понятия числа уже не были более вызваны потребностями счета и измерения, а явились следствием развития науки. Первым из них было введение отрицательных чисел, обусловленное развитием алгебры.
В связи с этим в ЭВМ мы имеем дело не с числами в математическом смысле, а с некоторыми их представлениями, или приближениями. Для представления чисел отводится некоторое определенное число ячеек (обычно двоичных, бит – от BInary digiT) памяти. В случае, если в результате выполнения операции полученное число должно занять больше разрядов, чем отводится в ЭВМ, происходит так называемое переполнение, и должна быть зафиксирована ошибка.
Аристотель свидетельствует, что пифагорейцы считали числа «причиной и началом» вещей, а отношения чисел — основой всех отношений в мире. число фибоначчи это Числа придают миру упорядоченность и делают его космосом. Такое отношение к числу было принято Платоном, а позже неоплатониками. Платон при помощи чисел различает подлинное бытие (то, что существует и мыслится само по себе) и неподлинное бытие (то, что существует лишь благодаря другому и познаётся только в отношении).
Значение комплексных чисел особенно возросло в XIX веке в связи с развитием теории функций комплексного переменного. С развитием алгебры возникла необходимость введения комплексных чисел, хотя недоверие к закономерности пользования ими долго сохранялось и отразилось в сохранившемся до сих пор термине «мнимое». Уже у итальянских математиков XVI века (Дж. Кардано, Р. Бомбелли), в связи с открытием алгебраического решения уравнений третьей и четвёртой степеней, возникла идея комплексного числа. Дело в том, что даже решение квадратного уравнения, в том случае, если уравнение не имеет действительных корней, приводит к действию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.
